Міністерство освіти і науки молоді та спорту України Черкаський державний технологічній університет Кафедра радіотехніки Звіт з лабораторної роботи №1 з дисципліни «Математичні методи обчислення» Перевірив:  РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ Мета роботи: опанувати методи Гауса, простої ітерації та метод Зейделя для розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Стислі теоретичні відомості Використовувані в даний час методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) можна розбити на дві групи: точні і приблизні. До точних методів можна віднести метод Гауса, який приводить до точних значень змінних. Система лінійних алгебраїчних рівнянь із n-невідомими має вигляд:
або в матричній формі:
, де
– матриця коефіцієнтів системи;
- вектор вільних членів;
- вектор невідомих. Чисельне розв’язування СЛАР за методом Гауса побудоване на зве-денні матриці коефіцієнтів системи A до трикутного вигляду, що досягається послідовним вилученням невідомих із рівнянь системи. Існують різні схеми обчислень за методом Гауса. Розглянемо одну з них – схему єдиного ділення. Спочатку за допомогою першого рівняння вилучається невідома
з усіх наступних рівнянь. Для цього перше рівняння ділиться на головний елемент
(за умови
), а потім з останніх рівнянь системи віднімається це рівняння, помножене на відповідний коефіцієнт при
–
. Отримується проміжна матриця А(1). Потім за допомогою другого рівняння вилучається невідома
, отримується проміжна матриця А(2) і так далі, доки в останньому рівнянні не залишиться лише одна невідома
. Таким чином отримується еквівалентна система:
, або в матричній формі
. Зведення системи (1.1) до еквівалентної (1.2) називається прямим ходом методу Гауса, а розв’язування системи (1.2), тобто послідовне визначення невідомих, – оберненим ходом методу Гауса. Метод простої ітерації. Нехай задана система лінійних алгебраїчних рівнянь із n-невідомими (1.1). Допускаючи, що діагональні елементи
, розв’яжемо перше рівняння системи (1.1) відносно
, друге – відносно
і т. д. Тоді отримаємо еквівалентну систему


, …………………………….………………….
де
Систему (1.3) можна записати і в матричній формі:
. Тепер, задавшись початковим значенням вектора
, можна будувати ітераційний процес:

………………….
… . Якщо послідовність
має границю
, то ця границя є розв’язком системи (1.3). Запишемо формули наближень в розгорнутому вигляді

Ітераційний процес продовжується доти, доки абсолютна величина різниці між попереднім й наступним наближеннями не стане менше деякої наперед заданої точності ( .
. Метод Зейделя являє собою деяку модифікацію методу простої ітерації. А саме при обчисленні (k+1)-го наближення невідомої
враховуються вже обчислені раніше
. Формули методу Зейделя для (k+1) наближення можна представити в такому вигляді:
Ітераційний процес закінчують при виконанні умови (1.5). Теорема збі-жності для методу простої ітерації залишається вірною й для ітерації по методу Зейделя. Хід роботи: Варіант №8: 1. Розв’язати СЛАР методом Гауса
поділивши перше рівняння системи на а11=4,3 маємо: х1-2,8х2+5,4х3-3,3х4=3,6 Тому, b12=-2.8, b13=5,4, b14=-3,3, b15=3,6 Обчислюєм коефіцієнти aij і складаєм систему. Так, при i=2 маємо: а22=а22-а21*b12= -4,4-2.4*(-2.8)=2.32 а23=а23-а21*b13 = 3.5-2.4*5.4= - 9.46 а24=а24-а21*b14 =5.5-2.4*(-3.3)=13.42 а25=а25-а21*b15 =2.5-2.4*3.6= -6.14 Так само обчислюєм для i=3;4 Таким чином ми отримуєм систему з трьома невідомими 2,35х2-9,46х3+13,42х4=-6,14 23,5х2-36,5х3+5х4=-10,87 10,13х2-32,65х3+24,36х4=-10,6 2) Поділивши перше рівняння отриманої системи на а22=2,35 маємо: х2-4х3+5,68х4=-2,61 Тому, b23=-4, b24=5,68, b25=-2,61 Обчислюєм коефіцієнти aij і складаєм систему. Так, при i=3 маємо: а33=57,79 а34= -128,47 а35=50,54 Обчислення при i=4 ведуться аналогічно. Отримуєм систему з двома невідомими: 57,79х3-128,47х4=50,54 8х3-33,18х4=15,86 3) Поділивши перше рівняння отриманої систем...